Thermodynamische bèta

Schaele voe 't omrekenen van temperatuur/koud'eid in 't SI: Temperatuurn in kelvin stoôn in 't blauw (Celsius in 't groen, Fahrenheit in 't roôd), waerden voe koud'eid in gigabytes per nanojoule stoôn in 't zwart. Oneindige temperatuur (nul koud'eid) staet bovenan; positieve waerden voe koud'eid/temperatuur stoôn rechs, negatieve waerden lienks.

In de statistische thermodynamica is de thermodynamische bèta, ok wè bekend as koud'eid, 'n groôt'eid die omgekeêrd evenredig is an de thermodynamische temperatuur van 'n systeem:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (wèrbie T de temperatuur is en k_B de constante van Boltzmann). De thermodynamische bèta 'eit de dimensie van omgekeêrde energie (in SI-eên'eden, omgekeêrde joule, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). In nie-thermische eên'eden kan 't ok gemeten worn in bytes per joule, of, waandiger, in gigabytes per nanojoule; 1 K⁻¹ is geliek an ongeveer 13.062 gigabytes per nanojoule; bie kamertemperatuur: T = 300 K, is β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV⁻¹ ≈ 2,4 ⋅ 10²⁰ J⁻¹. De omrekeniengsfactor is: 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J⁻¹.

Beschrievieng

De thermodynamische bèta is in feite de verbindieng tussen de informatietheorie en de statistische mechanica bie 't interpreteren van 'n fysisch systeem via zien entropie, en de thermodynamica die mie zien energie te maeken 'eit. 't Geeft de reactie weer van de entropie op 'n toenaeme van energie. As 'n kleine 'oeveel'eid energie an 'n systeem wor toe'evoegd, beschrieft β de maete weermee 't systeem willekeuriger wort. Deur de statistische definitie van temperatuur as 'n functie van entropie kan de koud'eidsfunctie berekend worn in 't microkanonieke ensemble mie de formule

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(da wil zeie, de partiële ofgeleide van de entropie S ni de energie E bie 'n constant volume V en 'n constant antal deêltjes N).

Voordeêlen

'Oewel β conceptueel volledig geliekwaerdig is an temperatuur, wort 't meêstentieds beschouwd as 'n meêr fundamentele groôt'eid as temperatuur, vanweêge 't verschiensele van negatieve temperatuur, wèrbie β continu is bie de overgang deur nul, t'rwiel T 'n singulariteit 'eit. Daèrnaest 'eit β 't voordeêl da de causaliteit gemakkelijker te begriepen is: as 'n kleine 'oeveel'eid warmte an 'n systeem wor toe'evoegd, is β de toenaeme in entropie gedeêld deur de toenaeme in warmte. Temperatuur is in dezelfde zin lastig te interpreteren, omda 't nie meugelijk is om "entropie toe te voegen" an 'n systeem, be'alve indirect, deur aore groôt'eden zoas temperatuur, volume of 't antal deêltjes te veranderen.

Statistische interpretaotie

Uut statistisch oogpunt is β 'n numerieke groôt'eid die tweê macroscopische systemen in evenwicht mie mekaore verbindt. De exacte formulerieng is as volgt. Beschouw tweê systemen, 1 en 2, die in thermisch contact stoôn, mie respectievelijke energieën E₁ en E₂. Neem an da E₁ + E₂ = 'n constante E. 't Antal microtoestanden van elk systeem wor angeheven mie Ω₁ en Ω₂. Binnen onze veronderstelliengen 'angt Ω_i alleên of van E_i. We nehmen ok an da elke microtoestand van systeem 1 die overeênkomt mie E₁ kan saemenbestoôn mie elke microtoestand van systeem 2 die overeênkomt mie E₂. 't Antal microtoestanden voe 't gecombineerde systeem is dus

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,$

We leiden β of uut 't fundamentele postulaot van de statistische mechanica:

Wanneer 't gecombineerde systeem evenwicht bereikt, wor 't antal Ω gemaximaliseerd.

(Mie aore woôren, 't systeem streeft van nature ni 't maximaole antal microtoestanden.) Dideurom geldt in evenwicht:

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Mae E₁ + E₂ = E betekent

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Dus

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

da wil zeie

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{in evenwicht.}}$

De bovenstinde relatie motiveert de definitie van β:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Verband tussen statistische en thermodynamische interpretaoties

Wanneer tweê systemen in evenwicht bin, 'ebben ze dezelfde thermodynamische temperatuur T. 't Is dirom intuïtief te verwachten da β (gedefinieerd via microtoestanden) op d'eên of aore meniere gerelateerd is an T. Deze relatie wor geleverd deur 't fundamentele postulaot van Boltzmann, geschreven as

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

wèrbie k_B de constante van Boltzmann is, S de klassieke thermodynamische entropie, en Ω 't antal microtoestanden. Dus,

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Deur dit in te vullen in de definitie van β uut de statistische definitie 'iervoor, kriegen we

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

As we dit vergelieken mie de thermodynamische formule

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

'ebben we

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

wèrbie $\tau$ de fundamentele temperatuur van 't systeem enoemd wort en de dimensie van energie 'eit.

Geschiedenisse

De thermodynamische bèta wier oorspronkelijk in 1971 geïntroduceerd (as de Kältefunktion "koud'eidsfunctie") deur Ingo Müller, 'n voorstander van de denkschoôle van de rationele thermodynamica, gebaseerd op eerdere voorstellen voe 'n "omgekeêrde temperatuur"-functie.

Zie ok

• Boltzmannverdelienge
• Kanonieke ensemble
• Isingmodel